「相似」の証明 ⇒ “見つけ方”と発想のコツ！

中３です。「相似の証明」に、コツはありますか…？

　
中学生から、こんなご質問が届きました。

「相似の証明で、

　相似な三角形が見つかりません。

　見つけ方のコツはありますか？」

はい、もちろんコツはあります。

相似の証明はとても大切なので、

以下をよく読み、
しっかり身につけましょう。

■９割以上が、あの相似条件！

相似形の理解は、

中３生の成績アップに欠かせません。

皆さんは、「三角形の相似条件」を３つ、
すぐ答えられるでしょうか。

（しっかり暗記しておきましょう。）

◇「３組の辺の比がすべて等しい」

◇「２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」

◇「２組の角がそれぞれ等しい」

大事な３つの条件ですね！

これが中３数学のポイントですよ。

※表現が違う教科書もあるので、

　ご自分の教科書の表現で大丈夫です。

（なおこの記事では、字数の関係で、

　「それぞれ（すべて）等しい」を
　省略して書きます。

　“表現が長いと読みにくい…”

　と、ページを閉じてしまう
　中学生もいるからです。

　“おかげで読みやすくなりました！”

　と嬉しい感想もいただいています。

　ただし、

　証明をテストの答案に書く時は、
　省略せずに書きましょう。

　上にある、「◇」の表現を使って下さいね！

　表現に厳しい先生もいますよ。）

…

さて、「◇」で示した、

３つの相似条件はもう大丈夫ですね。

実は、この３つのうち、

圧倒的に多く使われる条件があります。

それはズバリ――

◇「２組の角がそれぞれ等しい」

なのです！

特に、辺の長さが書かれていない時は、

ほとんど「２組の角」を使う問題です。

この相似条件で証明できますよ。

（これがコツですね！）

ちなみに、

“どの条件を使って証明しよう？”

という悩みは、

次の方法でだいたい解決できます。

[相似条件の見つけ方］

１．同じ大きさの角を２組探す

　⇒ 見つかれば、「２組の角」で証明！

２．同じ大きさの角を１組と、
　　見つけた角を作る辺２本の長さを確認

　⇒「２組の辺の比とその間の角」で証明できる

３．同じ大きさの角が見つからない…

　⇒ 辺３本の長さを確認

　⇒「３組の辺の比」で証明できる

こんな風に考えると、

相似な三角形について、
見つけ方の悩みは減りますよ。

（同じ大きさの角を見つけたら、

　○・△・×などのマークを付ける

　というのも大事なコツです。

　見た目の直感を生かせるよう、
　マークをしっかり書きましょう！）

■「相似な図形」のパターンがある？

実は、三角形の相似の問題では、

よく使われる「基本の形」が２つあります。

その２つとは…

「ちょうちょ型」と「ピラミッド型」です。

これらが見えれば、

“相似形だ！”と分かるのです。

見つけ方のコツですね。

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１．「ちょうちょ型」
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中２数学の、三角形の合同でも、
よく出てくる形です。

「図に　×　の形がある」ところは“対頂角”で、

対頂角の大きさは必ず等しいですよ、

と習いましたね。

（線分ＢＥと、線分ＣＤが、「X 字」に
　交わっていて、

　交わったところをＡとします。

　この時、△ＡＢＣと△ＡＤＥは、

　「ちょうちょ型」になります。）

証明する場合は…

・対頂角の部分ではない、
　その他の辺２本が平行になっていれば、

⇒ 「対頂角と錯角」で“２組の角”がそれぞれ等しい

・平行線でない時は、

　「対頂角は等しい」＆辺の長さをチェックして…

⇒“２組の辺の比とその間の角”がそれぞれ等しい

この流れで、相似を証明できます。

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２．「ピラミッド型」
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三角形の中に１本線を引いて、

“大きい三角形”と“小さい三角形”が
できるタイプです。

（大きな△ＡＢＣの中に、

　小さな△ＡＤＥがあるような場合。

　頂点Ａは共通になっています。）

こちらも、

・もとの三角形の辺と、
　中に引いた線が平行ならば、

⇒「共通の角と、同位角」で“２組の角”がそれぞれ等しい

・平行でなければ、

　「共通の角」＆辺の長さをチェックして…

⇒“２組の辺の比とその間の角”がそれぞれ等しい

この流れで、相似を証明できます。

…

これで、相似な三角形の「見つけ方」について、

パターンとコツが見えましたね。

さあ、中３生の皆さん、
次のテストは期待できそうです。

定期テストは「学校ワーク」から
たくさん出るので、

繰り返し練習で、大幅アップを狙いましょう！
　