「辺の長さ」が等しいことを証明 ⇒ それも「合同証明」！

中２です。「辺の長さが等しい」ことの証明って…？

　
中学生から、こんなご質問をいただきました。

「図形の問題で、

　“辺の長さが等しいことを証明しなさい”

　というものが出ました。

　これも合同証明なのでしょうか？」

なるほど、良い質問ですね。

結論から言うと、その通りです。

◇「合同な図形の、対応する辺の長さは等しい」

という性質を使うので、

三角形の合同証明が必要です。

ただ、全然難しくないので、
安心してくださいね。

次の手順で説明すればＯＫです。

---------------------------------
・２つの三角形は合同

　　　　　↓
・対応する辺の長さは等しい

　　　　　↓
・だから、指定された辺の長さは等しい
---------------------------------

こんな風に説明すればいいんです。

以下で詳しく解説するので、

よく読んで、コツを身につけましょう。

■「結論」を三角形の１辺に！

先ほどの説明で、

“合同証明というけど、
　どの三角形を見ればいいの？”

と思った中学生もいるかもしれません。

でも大丈夫、コツがあるんです。

それは、「結論」をよく見ることです。

実は、合同な三角形の中に、

「結論」の辺が含まれているのです。

ですから、

「結論」に書かれた辺を含む、
三角形を２つ見つけること！

これが、問題を解くコツなんですよ。

では、具体例をお見せしますね。

■さあ、問題を解いてみよう！

ご質問は、こんな問題ですね。

中２数学の、よくある問いです。

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平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ上に、

ＡＥ＝ＣＦ となるように点Ｅ、Ｆをとるとき、

ＢＥ＝ＤＦであることを証明しなさい。

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（図をかくのも練習になるので、
　ぜひノートにかいてみましょう。）

では、発想のポイントですが、

結論は、ＢＥ＝ＤＦ　なので、

△ＢＥ●と△ＤＦ■　が合同であることを

証明する必要があります。

（●と■にはアルファベットが入ります。）

さて、●と■の部分には、
何が入るでしょうか。

三角形にするには、
もう１点書きたいのですが…

仮定に「ＡＥ＝ＣＦ」とありますね。

勘の良い中学生は分かりましたね！

そうなんです――

●にＡを、■にＣを入れて、

△ＢＥＡと△ＤＦＣ

の合同証明をするのです。

［証明の流れ］

今回の合同証明は、

次の手順で考えるとスムーズですよ。

１．結論は、ＢＥ＝ＤＦだから、

→　△ＢＥＡ≡△ＤＦＣの証明をすると決める

２．仮定は

　　①ＡＥ＝ＣＦ

　　②平行四辺形ＡＢＣＤ

→「錯角が等しい」「対辺が等しい」が使えそう

３．結論で辺を１つ使っているので、

　　「２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」か

　　「１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」のどちらか

　　（※ なお、結論の「ＢＥ＝ＤＦ」を、

　　　証明の途中の“根拠”には
　　　書かないで下さいね。

　　　結論を根拠に使うことはできません。

　　　中学生に多い間違いなんです。）

４．∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ（錯角）と

　　ＡＢ＝ＣＤ（平行四辺形の対辺）が見つかった！

→　合同の条件は、

　　◇「２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」

　　これが当てはまる

このように発想しましょう。

では、以下が模範解答です。

…

＜模範解答＞

△ＢＥＡと△ＤＦＣにおいて

仮定より　ＡＥ＝ＣＦ…①

ＡＢ//ＤＣより、

平行線の錯角は等しいので、

∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ…②

平行四辺形の対辺は等しいから

ＡＢ＝ＣＤ…③

①②③より、

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

△ＢＥＡ≡△ＤＦＣ

合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、

ＢＥ＝ＤＦ

…

いかがでしょうか。

中学生の証明問題は、
こうしてシンプルに解けます。

◇合同な図形の対応する辺の長さは等しい

これも、数学のポイントなので、
すぐ言えるようにしましょう。

（大事な呪文は、暗記しましょう！）

さあ、中２生の皆さん、
次のテストは期待できそうですね。

定期テストは「学校ワーク」から
たくさん出るものなので、

繰り返し練習して、

スラスラ、スラスラとできるように
しておきましょう！
　