y ＝ ax² の「変化の割合」⇒ 裏技が？（２乗に比例する関数）| 中３生の「数学」のコツ

中３です。「２乗に比例する関数」の“変化の割合”、裏技って？

　
中学生から、こんなご質問が届きました。

「２乗に比例する関数（ｙ＝ａｘ²）の質問です。

　“変化の割合”を求める時に、

　参考書に“ａ（ｐ＋ｑ）を使って”とあるのですが…」

なるほど、良い質問ですね！

“以前の記事の方法と、
　違っているんですが…”

と思ったかもしれません。

結論から言えば、

あなたが見つけた方法は
一種の裏技（速い方法）です。

基本を身につけた人が、

それを使うとさらに速くなる、

という意味で、参考書の筆者は
紹介していたのです。

以下で詳しく説明するので、

中３生の皆さんは、
ぜひ読んでみてください。

■まずは準備体操を！

質問してくださった公式は、

「上級者向けの裏技」なので、

普通の方法を、先に知っておく
必要があります。

（基本を知らないと、
　裏技も使えないからですね。）

「変化の割合」の計算について、

教科書通りの基本を、

こちらのページで解説しています。

まだ読んでいない中３生は、
しっかり見ておきましょう。

読んだ後、また戻って来てもらえると、

“すごく分かるようになった！”

と実感できるはずです。

中３数学のコツをまとめたので
実力アップにつながりますよ。

数学で成績アップするには、

基礎から順の積み上げが
とても大切です。

順番通りやるのが
成績を上げるコツなので、

中学生は「基本」を大切にしましょう！

■ｙ＝ａｘ² の「変化の割合」を求める“裏技”？

上記ページを読んだ前提で
話を続けます。

質問してくださったａ（ｐ＋ｑ）は、

関数 ｙ＝ａｘ² で、

変化の割合を求めるときに、
便利な公式なんです。

基礎を理解してから使えば、
速く解けるからです。

参考書には、おそらく

次のように書かれていたでしょう。

--------------------------------
関数ｙ＝ａｘ² において、

ｘの値がｐからｑまで増加するとき、

変化の割合は

◇ａ（ｐ＋ｑ）

で求めることができる。
--------------------------------

では、なぜなのかを説明します。

具体例を使って、

ａ（ｐ＋ｑ） を計算してみましょう。

たとえば、

ｙ＝２ｘ² で、

ｘが「１から３まで」増加するときの

変化の割合を、ａ（ｐ＋ｑ） で表せば…

⇒ ２×（１＋３）＝８

このように、あっという間に
「変化の割合」が求められます。

同じく、ｙ＝２ｘ² で、

ｘが「－３から－１まで」増加するときの

変化の割合は…

⇒ ２×｛（－３）＋（－１）｝＝－８

ほら、あっという間ですよね！

ちなみに、

こうして求めた「８」「－８」が
正解であることは、

こちらのページと、もう一度比べれば
すぐ分かります。

先ほど見てもらった同じ記事ですが、

◇ｙ＝２ｘ² で、
　ｘが「１から３まで」増加するとき

◇ｙ＝２ｘ² で、
　ｘが「－３から－１まで」増加するとき

という、まったく同じ問題について、

普通の方法（基本）で解き、
答えを載せています。

ですから、比べてみれば、

★ａ（ｐ＋ｑ）で求められる答えが
　正解であること

★ａ（ｐ＋ｑ）を使えば、計算が速いこと

の２点が確認できますね！

ｙ＝ａｘ² の形になる、

「２乗に比例する関数」でしか
使えない裏技なのですが、

◇（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

よりも速いので、

基本を理解した人には
オススメの公式なのです。

…

＜ひとこと＞

なお、

◇（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

これは、全ての関数に使えるので、

基本を覚えたことは、
もちろん実力アップですよ！

どんな関数でも、

この割り算で、「変化の割合」を
求めることができます。

一方で、繰り返しますが、

ａ（ｐ＋ｑ） という公式は、

「ｙ＝ａｘ²」の時だけあてはまるものなので、

・基本を押さえた中学生が

・“いつ”使えるかを理解した上で使う

というタイプの公式です。

やや上級者向けですね！

…

■なぜこの公式が使えるのか？

ではここから先は、

公式の背景を知りたい中３生向けに、

さらに掘り下げた解説です。

関数 ｙ＝ａｘ² において、

ｘの値がｐからｑまで増加するときの、

「対応表」を作ってみましょう。

ｘ｜ｐ｜ｑ
---------------
ｙ｜ａｐ²｜ａｑ²

このようになりますね。

★ｘの増加量＝ｑ－ｐ　（← 大－小）

★ｙの増加量＝ａｑ²－ａｐ²

ですから、

◇変化の割合＝（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

これに当てはめて、分数で表すと、

　　ａｑ²－ａｐ²
　------------
　　ｑ－ｐ

　　ａ(ｑ²－ｐ²)　← ａでくくる
＝-------------
　　　ｑ－ｐ

　　ａ(ｑ＋ｐ)(ｑ－ｐ)　← 因数分解
＝-------------------
　　　　ｑ－ｐ

＝ａ(ｑ＋ｐ)　　← (ｑ－ｐ)で約分、分母が１になり省略

＝ａ(ｐ＋ｑ)　　← カッコの中を入れかえ

これで、ご質問をいただいた
公式のできあがりです！

…

＜最後にワンポイント＞

担当の先生によっては、

「この公式は使わない方がよい」

とおっしゃることがあります。

便利すぎて、基本の考え方である、

◇（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

を忘れるのではないか、と
心配する先生もいるからです。

本当の話、ａ(ｐ＋ｑ) は、

ｙ＝ａｘ² にしか使えないので、

先生の心配にももちろん意味があります。

たとえば、中１数学の「反比例」は、

（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）でしか、

「変化の割合」を求められないですしね。

ですから、皆さんは
次のように考えましょう。

学校の先生が、ａ(ｐ＋ｑ) を、

授業の中で教えてくれたら、
堂々とこの公式を使ってください。

ただ、反対に、

授業では触れなかった場合、

定期テストではａ(ｐ＋ｑ) を使わず、

◇（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

基本通りにこちらで解きましょう。

（教科書や、授業で教えた方法を
　無視しているのでは？

　と誤解されることもあるからです。）

それでも、

ａ(ｐ＋ｑ) の公式は、

テストの提出前に、急いで確かめ算を
する時に使えますから、

知っていることはプラスです。

ｙ＝ａｘ² の時にしか使えない、

という限界だけはしっかり押さえて、

中３生は、どんどん計算を
加速していきましょう！
　