y ＝ ax² の「変化の割合」？（２乗に比例する関数）| 中３生の「数学」のコツ

中３です。「２乗に比例する関数」の“変化の割合”は？

　
中学生から、こんなご質問をいただきました。

「２乗に比例する関数（ｙ＝ａｘ²）で、

　“変化の割合”は、

　“ａの値”とは違うものなのですか？」

すごく良い質問ですね！

結論から言うと、その通りです。

「２乗に比例する関数」では、

“変化の割合”と“a の値”は
違うものになります。

中３数学のポイントなので、
よく読んでくださいね。

■まずは準備体操を！

中３生からの質問なので、

これにバッチリ答えるには、
中２内容の確認も必要です。

少しだけ復習しましょう。

中２数学の「１次関数」に関して、

ｙ＝ａｘ＋ｂ の“ａ”の部分は、

「比例定数」「傾き」「変化の割合」
と３つの呼び方がありましたね。

こうした中２数学のコツは、

こちらのページで解説しています。

（まだ読んでいない中学生は、

　チェックしておくと
　すごく良いことがありますよ！

　上記ページを読んだ後、
　また戻ってきてもらえると、

　“分かるようになったぞ！”

　と実感できるでしょう。）

■中３数学の“違い”はここ！

上記ページを読んだ前提で、
解説を続けます。

ズバッと大事なことを言いますよ。

実は、中３数学の

「２乗に比例する関数」では、

ｙ＝ａｘ² の“ａ”の部分は、
「比例定数」としか呼べないんです。

（直線ではないので、
　「傾き」とは呼べないですね。）

また、「変化の割合」についても、

以下の方法で計算すれば、
“a の値”とは違うと分かります。

お悩みは今日で解決できますよ！

■ｙ＝ａｘ² の「変化の割合」の求め方は？

では、「変化の割合」について、

求め方（計算法）をお見せします。

「変化の割合」は、

◇（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

という割り算で求められます。

（“割り”あいなので、割り算ですね！）

ｙ＝ａｘ² は曲線ですが、

上記の式は曲線にも使えるので、
気にする必要はありません。

簡単に計算できますよ！

たとえば、

★ｙ＝２ｘ² の変化の割合

を考えてみましょう。

ｘ｜－３｜－２｜－１｜０｜１｜２｜３
--------------------------------------
ｙ｜１８｜８｜　２｜０｜２｜８｜１８

「対応表」はこのようになりますね。

では一例として、

ｘの値が「０から２まで」増加するときの
変化の割合を計算してみます。

◇ｘの増加量＝２－０＝２

◇ｙの増加量＝８－０＝８

ですから、

◇変化の割合＝８÷２＝４

このように、簡単に求められます。

そして、計算の結果、

この場合の「変化の割合」は「４」なので、

“a の値”とは違うものですね。

ですから、ｙ＝ａｘ² では、

・“a”は「比例定数」とは呼べるが、

・「変化の割合」とは言えない。

（⇒「変化の割合」は、計算しないと分からない。）

こう言えるのです。

ちなみに、

「変化の割合」を求める式、

◇（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

これが曲線に対しても使えることは、

先ほどご紹介した、
こちらのページで解説済みです。

「変化の割合」が、
反比例でも求められることなど、

重要解説が含まれているので、

しっかり確認してくださいね。

（数学のコツをまとめたので、
　実力アップにつながりますよ！）

…

＜おまけ＞

曲線の場合、

「変化の割合」は、どこで測るかに
よって変わります。

だから、毎回計算が必要なんですね。

（このことも上記ページで解説していますよ！）

ｙ＝２ｘ² の例を使って、

このことを念のため、
確認しておきましょう。

ｘの値が「１から３まで」増加するときの
変化の割合は、

◇ｘの増加量＝３－１＝２

◇ｙの増加量＝１８－２＝１６

ですから、

◇変化の割合＝１６÷２＝８

いかがでしょうか。

先ほど計算した「４」とは
違う値になりましたね！

（だから、毎回計算が必要なのです。）

ダメ押しとして、さらに別の箇所で
計算してみます。

ｘの値が「－３から－１まで」増加するときの
変化の割合は、

◇ｘの増加量＝(－１)－(－３)＝２

◇ｙの増加量＝２－１８＝－１６

ですから、

◇変化の割合＝(－１８)÷２＝－８

今度もまた、違う値になりました。

ｙ＝ａｘ² は曲線なので、

「変化の割合」は、測る場所によって
変わるということ、

しっかり納得できましたね！

…

＜まとめ＞

ｙ＝ａｘ² において、

“ａ”は「変化の割合」ではありません。

「変化の割合」は計算で求めるので、
求め方をマスターしましょう！

対応表を作り、

◇（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

を計算すれば、必ず分かります。

さあ、中３生の皆さん、
次のテストは期待できますね！

定期テストは「学校ワーク」から
たくさん出るので、

スラスラできるように、
繰り返し練習しておきましょう。

…

［裏技の紹介］

★ｙ＝ａｘ² の「変化の割合」について、

実は、このページのやり方以外に、

もう少し速い方法もあります。

ただ、まずは基本を身につけるのが
成績アップのコツなので、

中学生は、順番を大切に、
土台から積み上げましょう。

「速い方法」については、

こちらのページに書いたので、

今回の記事内容をまず理解して、

さらに興味のある方は
読んでみてください。
　　