２乗に比例する関数の「変域」は？ ⇒ 楽勝！

中３です。２乗に比例する関数の、「変域」の問題が…。

　
中学生から、こんなご質問をいただきました。

「２乗に比例する関数（ｙ＝ａｘ²）で、

　“変域”の求め方が分かりません…」

なるほど、

“１次関数の時と、
　答え方が変わるのはなぜ？”

というご質問ですね。

大丈夫、コツがあるんです。

結論から言うと、

◇ｘの変域の中に“０”が含まれているかどうか

これによって、

ｙの変域の答え方が変わります。

以下で詳しく説明しますね。

■まずは準備体操を！

今回のご質問は中３数学ですが、

もしかすると、次のような、

中２数学の疑問を抱えている人も
いるかもしれません。

・「変域って何ですか？」

・「１次関数の変域の求め方って？」

こうした点に悩む中学生は、

こちらのページをまだ読んでいませんね。

中２数学のポイントをしっかり
解説しているので、

ぜひ読んでみてください。

その後、また戻って来てもらえると、

“すごく分かるようになったぞ！”

と実感できるでしょう。

数学のコツは、基礎から順に
積み上げることです。

「上がった！」と先輩たちが
喜んでいるサイトなので、

色々なページを活用してくださいね。

…

■「対応表」を利用しよう！

上記ページを読んだ前提で
話を続けます。

変域を求める時は、

本来はグラフをかくのがベストですが、

テストでは、たいてい
時間制限がありますよね。

そこで、より速い方法である、

「対応表」を使いましょう。

中３数学の、よくある問題を見ていきます。

--------------------------------------

関数 ｙ＝２ｘ² について、

ｘの変域が次のとき、ｙの変域を求めなさい。

[１] ２≦ｘ≦４

[２] －４≦ｘ≦－１

[３] －１≦ｘ≦２

-------------------------------------

さっそく解いていきましょう。

まずは、“ｙ＝２ｘ²” の対応表を作ります。

３つの問題を見ると、

x が一番小さいときは「－４」、

一番大きいときは「４」と分かるので、

対応表は、－４≦ｘ≦４の範囲で
作るのがよいですね。

ｘ｜－４｜－３｜－２｜－１｜０｜１｜２｜３｜４
--------------------------------------------------
ｙ｜３２　｜１８｜８　｜２｜０｜２｜８｜１８｜３２

★正の数≦ｘ≦正の数　や

★負の数≦ｘ≦負の数　のときは？

ｘの変域の中に“０”が入らない、
簡単な問題から見ていきます。

[１] と [２] です。

[１] ２≦ｘ≦４

ｘ＝２、３、４　の下に書かれている

ｙの値を見てみましょう。

最小値（一番小さい数）は　８（← ｘ＝２のとき）
最大値（一番大きい数）は３２（← ｘ＝４のとき）

ですから、答えは　８≦ｙ≦３２

[２] －４≦ｘ≦－１

ｘ＝－４、－３、－２、－１　の下に書かれている

ｙの値を見てみましょう。

最小値（一番小さい数）は　２（← ｘ＝－１のとき）
最大値（一番大きい数）は３２（← ｘ＝－４のとき）

ですから、答えは　２≦ｙ≦３２

―― このように、実は簡単です。

・正の数≦ｘ≦正の数のとき

・負の数≦ｘ≦負の数のとき

こういう時は、

ｘの値の両端を
ｙの値にもってくるだけです。

（１次関数と同じ方法でいいですね。

　ここまでなら、

　中２数学の変域の問題と、
　コツは同じと言えます。）

★負の数≦ｘ≦正の数（０を含む）の場合は…

１次関数と方法が変わるのは、
こういう場合です。

[３] －１≦ｘ≦２

ｘ＝－１、０、１、２　の下に書かれている

ｙの値を見てみましょう。

最小値（一番小さい数）は　０（← ｘ＝０のとき）
最大値（一番大きい数）は　８（← ｘ＝２のとき）

ですから、答えは　０≦ｙ≦８

対応表と見比べてほしいのですが、

ｘの値の両端が、そのまま
最小値・最大値にはなりませんね。

y の値が最小値になるのは、
x の値の端ではなく、

x ＝０の時だからです！

「なぜ？？」

と思った中３生は、

グラフをかいてみると
納得できますよ。

ｙ＝ａｘ² のグラフは放物線で、

原点（０，０）が頂点です。

ですから、この問題では、

y の最小値は、頂点の話です。

こうした理由で、x ＝０ のときに
注目すべきなのですね。

…

＜まとめ＞

・正の数≦ｘ≦正の数のとき

・負の数≦ｘ≦負の数のとき

⇒ １次関数と同じように求めてＯＫ！

（先ほどの例題の、
　最も速い解き方は、以下の通り。）

ｙ＝２ｘ² について、ｙの変域を求める対応表

[１] ２≦ｘ≦４

ｘ｜２｜…｜４
------------------
ｙ｜８｜…｜３２

だから、８≦ｙ≦３２

[２] －４≦ｘ≦－１

ｘ｜－４｜…｜－１
-------------------
ｙ｜３２｜…｜２

だから、３２≧ｙ≧２

ただし、数字は小さい順に
書くほうがよいので、

２≦ｙ≦３２　（答）

この書き方が、読み手に親切。

★負の数≦ｘ≦正の数のとき［重要］

“０”を含んでいるので、
対応表にも“０”を入れておこう！

ｙ＝２ｘ² について、ｙの変域を求める対応表

[３] －１≦ｘ≦２

ｘ｜－１｜…｜０｜…｜２
----------------------------
ｙ｜２｜…｜０｜…｜８

３つのｙの値を見比べて、

０≦ｙ≦８　（答）

放物線なので、グラフの頂点（x ＝０の時）を
意識することが大切。

…

さあ、中３生の皆さん、
次のテストは期待できそうですね！

定期テストは「学校ワーク」から
たくさん出るので、

スラスラできるよう、
繰り返し練習をしておきましょう。
　