１次関数なら、「傾き」と「変化の割合」は同じ！

中２です。「傾き」と「変化の割合」は同じもの？

　
中学生から、こんなご質問をいただきました。

「１次関数で、

　“傾き”と“変化の割合”は、同じものですか？」

結論から言うと、その通りです。

１次関数では、

“傾き”と“変化の割合”は
同じものと言えます。

１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂの“ａ”の部分は、

◇「比例定数」

◇「傾き」

◇「変化の割合」

という３つの呼び方があるんです。

（ちなみに“b”の方は、

　「切片」と呼ばれますね！）

以下は数学の「コツ」の解説です。

得点アップのポイントを語り、

“なぜ３つの呼び方があるの？”

という疑問にもお答えしますね。

数学では、

★納得する＝実力アップする

と言えますから、

成績を上げたい中学生は、
ぜひ読んでみてください。

■「傾き」とは“斜め具合”のこと

中学内容では、

◇比例の話

◇１次関数の話

の両方で、「傾き」という言葉が出てきます。

中１数学、中２数学、

両方の得点アップに関わる部分です。

「傾き」というのは、

★「直線の傾きの度合い（斜め具合）」

のことです。

グラフの見た目に関する話ですね。

たとえば、

“ｙ＝２ｘ”と“ｙ＝３ｘ”で、

どちらの直線の傾きが大きいか？

と考えてみましょう。

（中１で学習した「比例のグラフ」です。

　中２生の皆さんは、
　グラフをかいて考えましょう。）

“ｙ＝２ｘ”の、傾きは“２”

⇒ 原点から横（ｘ方向）に１、
　上（ｙ方向）に２進んだ点を通る

“ｙ＝３ｘ”の、傾きは“３”

⇒ 原点から横（ｘ方向）に１、
上（ｙ方向）に３進んだ点を通る

グラフをかいて比べてみると、

“ｙ＝３ｘ”のほうが、
斜めの角度が大きいですね。

つまり、

傾きの数値の大きい方が、
斜めの角度が大きい、

と言えます。

これが、「傾き」の意味です。

コツを１つ、押さえましたね！

■「変化の割合」は、割り算によるもの（“割合”なので）

一方、「変化の割合」は、

関数（x と y の関係）の中で、

「ｘが増える量に対して、
　ｙがどれくらい増えるか」

を表したものです。

割合（“割り”あい）という名前の通り、
割り算で求められます。

すなわち、

◇（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

のことですね。

具体例を使うと分かりやすいので、

たとえば、

★ｙ＝３ｘ＋５の変化の割合

を見てみましょう。

ｘ｜－１｜０｜１｜２｜３｜４｜５
-----------------------------------------
ｙ｜２｜５｜８｜１１｜１４｜１７｜２０

関数でよく使う「対応表」ですね。

ｘの値が「１から３まで」増加するときの
変化の割合を、計算してみましょう。

★ｘの増加量＝３－１＝２

★ｙの増加量＝１４－８＝６

（増加量とは「どのくらい増えたか」ですから、

　引き算で簡単に求められますよ！）

さて、「変化の割合」は、

◇（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

で求められますから、

（式）６÷２＝３

これで、「変化の割合」が３と分かりました。

ちなみに、

“どこで測っても３になりますか？”

と疑問を持つ中２生もいると思います。

とても良い質問なので、念のために
試してみましょう。

ｘの値が「２から５まで」増加するときの
変化の割合も、計算してみます。

★ｘの増加量＝５－２＝３

★ｙの増加量＝２０－１１＝９

ですから――

◇変化の割合＝９÷３＝３

やはり「３」になりましたね！

１次関数ｙ＝３ｘ＋５では、

「変化の割合」はいつも一定です。

（どの部分で計算しても、「３」です。）

ｙ＝ａｘ＋ｂの“ａ”の部分にあたるのが、

ｙ＝３ｘ＋５であれば「３」ですが、

ここが「変化の割合」を表します。

ですから、

“１次関数の場合は”

と条件はつきますが、

◇“傾き”と“変化の割合”は同じもの

と言えるのです！

中学生にとって、
数学の重要ポイントですね。

…

＜おまけ＞

■なぜ、「傾き」と「変化の割合」という
　２つの違う名前があるの？

こんな疑問にお答えしましょう。

結論から言えば、

◇「傾き」は“直線”にしか使えない

◇「変化の割合」は、
　“直線”“曲線”のどちらでも使える

という説明が成り立ちます。

もう少し言い添えると、

・「傾き」は直線にしか使えないけれども、
　とてもイメージしやすい言葉なので

⇒「比例」や「１次関数」の説明には有効！

と言えるのです。

ですから私も、このページでは
「傾き」を先に説明しました。

（イメージしやすかったですよね。

　「比例定数」という言葉も、

　比例のグラフの、
　“傾きが一定であること”を

　示すものとなっています。）

一方で、関数というのは
直線だけではありません。

たとえば、中１で学習した
「反比例」も関数ですよね。

「変化の割合」は、
反比例にも使えるので、

この点で便利な言葉なのです。

■反比例でも「変化の割合」は使える！

このことについて、
具体例を見てみましょう。

ｙ＝３０／ｘ （ｘ分の３０） ← 反比例

「対応表」は次のようになります。

ｘ｜１｜２｜３｜５｜６
-----------------------------
ｙ｜３０｜１５｜１０｜６｜５

ｘの値が「１から３まで」増加するときの
変化の割合を計算します。

★ｘの増加量＝３－１＝２

★ｙの増加量＝１０－３０＝－２０

ですから、

◇変化の割合＝－２０÷２＝－１０

このように計算できますね！

“どこで測っても同じですか？”

という鋭い質問が、ここでも出ると思います。

結論から言えば、

反比例では、どこで測るかによって
変化の割合は変わります。

（どこで測っても同じなのは、

　直線の時だけ、すなわち、

　「比例」か「１次関数」の時だけなのです。）

確かめてみましょう。

上と同じ反比例の式で、

ｘの値が「２から５まで」増加するときの
変化の割合を計算してみます。

★ｘの増加量＝５－２＝３

★ｙの増加量＝６－１５＝－９

ですから、

◇変化の割合＝－９÷３＝－３

先ほどと違う値になりましたね！

反比例は直線ではないので、

「変化の割合」を求めるには、

“どこで測るか”という要素が
必要になるのです。

…

［得点アップのコツ］

「変化の割合」を問う問題には、

「ｘの値が、○から△まで増加するとき」

「ｘの値が、○増加するとき」

といった言葉が添えられているので、

中学生の皆さんは、

その部分を見逃さず、
よく読んでから計算しましょう。

これで、「反比例」など、

直線以外の問題で
「変化の割合」が問われても、

ビックリせずに計算できますね！
　