中２です。三角形の「合同証明」、発想の手順は…？
中学生から、こんなご質問が届きました。
「三角形の合同証明についてです。
証明の途中で、辺や角が
全部同じ大きさに見えます…。
根拠（説明の部分）には、どれを書けば？」
大丈夫、コツがあるんです。
“合同”は同じ大きさの辺や角を探す、
と分かっていても、
“同じもの、同じもの…”
と探していくと、全部同じに
見えるというお悩みですね。
解決策があるので、
以下で詳しく説明しますね。
■逆から考えてみよう！
「証明」のどこで引っかかっているのか、
まずはっきりさせたいですね。
問題点を見つけるため、
証明の手順を簡単にまとめます。
中２生の皆さんは、
しっかりチェックしましょう。
--------------------------------------------
［証明の手順］
１．仮定を探して書く
↓
２．仮定以外で同じ大きさのものを書く
↓
３．「三角形の合同条件」の３つのうち、どれかを書く
↓
４．結論を書く
---------------------------------------------
証明はこの手順で進めるものです。
“２と３の部分”で、
苦戦する中学生が多いですね。
今回のご質問も、このパターンに
当てはまります。
では、ポイントをお教えしましょう。
“２と３の部分”で悩んでいる中２生は…
⇒ 順番をあえて逆にし、
結論と仮定を見比べる
という技があります。
答案を書く前に、こんな考え方を
してみようという提案です。
（中２数学の、得点アップのコツですね。）
上に書いた１～４の
「証明の手順」というのは、
“答案には、この順に書きましょう”
という意味ですが、
途中の考え方（頭の中）までそうせよ、
という意味ではありません。
頭の中や、メモ書きなら、
順序を変えて考えてもＯＫ、
この発想で、得点アップできますよ！
では、どうやって考えるのか？というと…
４．結論を見る
↓
１．仮定を見る
↓
３．「三角形の合同条件」の３つのうち、２つに絞る
↓
２．２つに絞った条件の、どちらかに合うような
辺や角を探す。（ただし仮定以外）
この方法で考えると、
合同証明がもっとスムーズに
解けるようになります。
以下で、具体的な問題をお見せしましょう。
■よくある問題 ＆ 速い方法！
中２数学の「合同証明」は、
こんな問題が多いです。
----------------------------------------
ＡＤ//ＢＣである台形ＡＢＣＤにおいて、
辺ＣＤの中点をＭとし、
ＡＭの延長とＢＣの延長との
交点をＦとします。
このとき、
△ＡＭＤ≡△ＦＭＣであることを証明しなさい。
-----------------------------------------
（図をかくのも練習になるので、
ぜひ手元のノートに、かいてみてくださいね）
では、速い方法で考えてみます。
４．結論は、△ＡＭＤ≡△ＦＭＣ
↓
１．仮定は、
①ＣＭ＝ＤＭ（辺）
②ＡＤ//ＢＣ ⇒ ＡＤ//ＢＦ ⇒ ∠ＡＤＭ＝∠ＦＣＭ（角）
↓
３．辺と角が１つずつあるので、
「２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」か
「１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」のどちらか
↓
２．“ＡＤ＝ＦＣ”（辺）は
同じ大きさと言える理由が見つからないので、使えない。
“∠ＤＭＡ＝ＣＭＦ”（角）は
対頂角（×の形）があるから、使える！
これで、証明に使う根拠（※）が
見えてきましたね。
（※ どの辺や、どの角を証明に使うか）
あとは、
提出用の順番（１～４の本来の順番）に戻し、
答案を完成させましょう。
以下のようになります。
［模範解答］
△ＡＭＤと△ＦＭＣにおいて
仮定より ＤＭ＝ＣＭ…①
ＡＤ//ＢＣより平行線の錯角は等しいので
∠ＡＤＭ＝∠ＦＣＭ…② （← ここまでが「１」の部分）
対頂角だから ∠ＤＭＡ＝ＣＭＦ…③ （← 「２」の部分）
①②③より
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので （← 「３」の部分）
△ＡＭＤ≡△ＦＭＣ （← 「４」の部分）
…
いかがでしょうか。
答案を書き始める前の、
発想やメモ書きの部分に
“速い方法”があるのです。
ゴール（結論）にたどり着くためには、
“何が不足しているのか？”
を考えてみると、根拠に書くものが
見つけやすくなりますよ。
これが証明のコツです。
さあ、中２生の皆さん、
次のテストは得点アップが狙えますね！
定期テストは「学校ワーク」から
たくさん出るので、
繰り返し練習して、同じ問題なら
すぐできるようにしておきましょう。
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こんにちは、佐々木です。
私は10年間で200名以上の中学生の生徒さんを指導してきましたが、そのうち8割以上が「塾に行っても成績が上がらない」という悩みを抱えていました。しかし、多くの中学生の生徒さんを教える中で、そんな生徒さん達に共通する特徴があることが分かりました。⇒続きはこちら
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